Variations de la composée de l'exponentielle et d'une fonction affine

Courbe représentative

Dans un repère orthogonal, on s'intéresse à la fonction  \(f\) définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = \text e^{ax+b}\) .
Avec le fichier de géométrie dynamique suivant, on peut étudier l'influence des paramètres  \(a\)  et  \(b\)  sur la courbe représentative de  \(f\) en faisant varier leurs valeurs à l'aide des curseurs.

Propriétés

• La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) lorsque \(a>0\) .
  
• La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\) lorsque \(a<0\) .
  

Démonstration

La fonction \(f\) est dérivable sur  \(\mathbb R\) et, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)=a \text e^{ax+b}\) .
Soit \(y=ax+b\) , on a \(\text e^y>0\) , d'après les propriétés de la fonction exponentielle. Ainsi, le signe de \(f'(x)\) est le signe de \(a\) . Le théorème donnant le lien entre le signe de la dérivée sur un intervalle et les variations de la fonction permet de conclure.

Remarque

Lorsque \(a=0\) ,   pour tout  \(x\) dans  \(\mathbb R\) ,  \(f(x)= \text e^b\) . La fonction \(f\) est constante et sa dérivée est nulle.

Exemples

• On étudie les variations de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)= \text e^{2x-3}\) . \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et, pour tout réel \(x\) , \(g'(x)=2 \text e^{2x-3}>0\) . La fonction \(g\) est strictement croissante s ur \(\mathbb R\) .
  
• On étudie les variations de la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x)= \text e^{-x+4}\) . \(h\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et, pour tout réel \(x\) , \(h'(x)=- \text e^{-x+4}<0\) . La fonction \(h\) est strictement décroissante   s ur \(\mathbb R\) .